La sezione aurea

Vi sono vari modi per introdurre il concetto e la definizione di sezione aurea, a seconda del contesto geometrico di partenza; il più semplice (e classico) è quello di considerare come "sezione aurea" la suddivisione di un segmento di data lunghezza in due parti, in modo che la parte più corta stia alla parte più lunga, come la parte più lunga sta all'intero segmento.

Classe 2C

Traducendo in termini algebrici la precedente relazione, si ottiene una proporzione; assumendo (senza perdere minimamente in generalità) che il segmento sia di lunghezza unitaria rispetto ad una certa unità di misura, e indicando con x la lunghezza (incognita) della parte del segmento più lunga da determinare, e di conseguenza con (1-x) la lunghezza della parte più corta, la proporzione diventa: 1 : x = x : (1-x).

Risolvendo, si ha: , da cui si ottiene l'equazione di 2° grado: , le cui soluzioni (due) sono: , ossia , ossia:

1) (inaccettabile come misura perché < 0);

2) ( e, di conseguenza, 1 - x 1 - 0,618 0,382 ).

Tale valore di x (detto numero aureo) viene quindi approssimato molto bene, in pratica, da una frazione aritmetica molto semplice, 3/5.

L'inverso del numero aureo viene ugualmente chiamato sezione aurea, viene indicato con la lettera φ dell'alfabeto greco, e vale approssimativamente 1,618 (più precisamente, φ = 1,6180339887...).

Un modo alternativo (altrettanto semplice e classico, e forse anche più diretto) per ottenere la sezione aurea consiste (anziché suddividere un dato segmento in due parti opportune) nell'aggiungere ad un segmento di data lunghezza una certa parte, in modo che la parte aggiunta stia al segmento originario come il segmento originario sta al nuovo segmento complessivo.

Come prima, traducendo in termini algebrici la precedente relazione, si ottiene una proporzione; assumendo (senza perdere minimamente in generalità) che il segmento sia di lunghezza unitaria rispetto ad una certa unità di misura, e indicando con x la lunghezza (incognita) della parte aggiuntiva da determinare, e di conseguenza con (1+x) la lunghezza del segmento complessivo, la proporzione diventa: x : 1 = 1 : (1+x).

Risolvendo, si ha: , da cui si ottiene l'equazione di 2° grado: , le cui soluzioni (due) sono: , ossia , ossia:

1) (inaccettabile come misura perché < 0);

2) ( e, di conseguenza, 1 + x 1 + 0,618 1,618 φ).

È comunque possibile arrivare alla sezione aurea partendo da considerazioni di carattere matematico più generali, a prescindere dagli aspetti geometrici. Più precisamente, si può indicare con sezione aurea il rapporto tra due grandezze (omogenee) disuguali, della quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la loro somma; dette a e b tali grandezze, la proporzione allora diventa: b : a = a : (a+b). Posto allora (cioè il rapporto tra la maggiore e la minore delle due grandezze), con alcuni semplici passaggi algebrici si arriva all'equazione di 2° grado: , che fornisce appunto la soluzione:

.

Tra le innumerevoli proprietà di vario tipo legate alla sezione aurea, ve n'è una particolarmente interessante di carattere geometrico che vale la pena ricordare, in quanto fornisce, tramite un ben preciso legame col teorema di Pitagora, un metodo semplice e veloce per arrivare alla sezione aurea.

Basta infatti considerare un triangolo rettangolo coi cateti a e b lunghi rispettivamente 1 e rispetto ad una opportuna unità di misura; l'ipotenusa c vale quindi: c = = = = = 1,118, e quindi , .

Nella teoria classica, dell'antica Grecia, si supponeva che i rapporti geometrici legati alla sezione aurea risultassero gradevoli all'occhio.

φ è un numero irrazionale (cioè non può essere rappresentato in forma di frazione numerica, ossia come rapporto di due numeri interi), che può essere approssimato, con precisione via via sempre maggiore, dal rapporto tra due termini consecutivi della successione di Fibonacci, alla quale risulta (sorprendentemente) legato.