Geometria pitagorica

La geometria è quel settore della matematica che studia le figure piane e solide.
Il termine deriva dal greco metria - misura e geo - della terra: questa attività era praticata per definire i confini di una proprietà o per valutare la superficie di un terreno.
«Gli Egizi manifestarono particolari capacità nell’impiego della geometria soprattutto in astronomia e in agrimensura (misurazione dei terreni): gli studi sulle piramidi hanno portato alla luce una sorprendente quantità di relazioni tra osservazioni astronomiche, simbologie arcane e criteri geometrici adottati nella costruzione. Fu però […] con Pitagora e la sua scuola e poi con Talete, che la geometria assurse a dignità di scienza diventando parte integrante della matematica». (Dellavecchia 2008, p. 30)

Keplero (1571-1630) scriveva: «La geometria ha due grandi tesori: uno è il Teorema di Pitagora; l’altro, la divisione di una linea in media ed estrema ragione. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa». (Boyer 2007, p. 60)

Teorema di Pitagora: L’area del quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Il teorema, già noto ai Babilonesi, fu enunciato per la prima volta da Pitagora. Non sappiamo quale metodo abbia usato per dimostrarlo, ma certo ricorse alla geometria in quanto la soluzione algebrica dà come risultato un numero irrazionale, un absurdum per Pitagora per il quale i numeri erano soltanto interi o razionali.

Nel tempo del teorema sono state date più di cento dimostrazioni geometriche diverse.
Ricordiamone alcune:

Scaglianti 1996, p. 159.

La scoperta degli incommensurabili era già stata incontrata dai pitagorici applicando il Teorema alla diagonale del quadrato.
Se in un quadrato si applica il teorema al triangolo rettangolo isoscele formato dai suoi lati e dalla diagonale si scopre che la diagonale del quadrato e il suo lato sono incommensurabili, ossia che diagonale e lato non hanno alcun sottomultiplo comune.
Prendiamo il quadrato più semplice con lato unitario e diagonale d. Risulta d² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2 e quindi d = √2, e questo per i greci era qualcosa di sconcertante e di incomprensibile.
Non era un numero intero, ma non era neanche una frazione o il rapporto di due numeri interi. In generale tra diagonale e lato di un quadrato, come tra diagonale e lato di un pentagono o di un cubo, non esiste un'unità di misura comune: sono incommensurabili. (http://www2.polito.it/didattica/polymath/)

La presenza di grandezze irrazionali risultò molto imbarazzante per i pitagorici perché, oltre a scardinare i loro fondamenti teorici, creava una profonda frattura tra la geometria, dimostrabile visivamente, e la matematica totalmente mentale e astratta. Tentarono dunque di bandire l’idea stessa di numero irrazionale tanto da condannare a morte Ippaso di Metaponto che ne rese pubblica la scoperta.