Platone (427-347 a.C.)

«Sebbene Platone non abbia dato personalmente alcun notevole contributo specifico alla matematica dal punto di vista strettamente tecnico, fu nondimeno il centro dell’attività matematica di quel tempo e guidò e ispirò il suo sviluppo». (Boyer 2007, p. 100)

«Sintetizzò il suo pensiero in due motti: “Ingresso riservato ai geometri”, posto alla porta dell’Accademia Platonica di Atene [fondata nel 387 ca.], e “Dio geometrizza sempre”, attribuitogli da Plutarco. Rispetto al “tutto è numero” di Pitagora, si notano due cose: da un lato, la matematica rimane al centro della spiegazione del mondo e del pensiero; dall’altro lato, l’aritmetica viene però sostituita dalla geometria. E il motivo è ovvio la crisi degli irrazionali aveva mostrato che i numeri non potevano essere la misura di tutte le cose, ma restava la possibilità che lo potessero essere i segmenti, o più in generale le figure». (Odifreddi 2004, p. 57)
«La meravigliosa scoperta di relazioni e leggi geometriche portò gli antichi a privilegiare questa scienza in ogni settore dell’operare umano […] Attraverso le armonie geometriche i filosofi greci, da Talete a Platone, cercarono di interpretare l’universo, di dare una definizione alla bellezza. Così Platone parla della bellezza delle forme geometriche: “Se si volesse separare dalle arti la dottrina dei numeri, della misura e dell’equilibrio, notoriamente non resterebbe al mondo che miseri avanzi. Ciò che io intendo per bellezza delle forme non è la bellezza dei corpi viventi, o la loro riproduzione a mezzo del disegno. Io intendo le linee rette e curve, le superfici e i solidi, che derivano dalla retta e dal cerchio, con l’ausilio del compasso, della riga e della squadra. Poiché queste forme non sono belle, come altre, a certe condizioni, ma sempre belle in sé, per natura, e sono fonte di particolarissimi piaceri”». (Sammarone 2008, A60)

Ritratto di Platone
Copia romana da originale greco
Monaco, Glyptothek.

I pitagorici avevano già anticipato una geometrizzazione della matematica, attribuendo delle forme ai numeri: triangolare, quadrata, pentagonale, ma anche cubica, tetraedrica, piramidale.


E mentre ci possono essere infiniti poligoni regolari, solo cinque sono i solidi regolari la cui caratteristica è di avere facce equilatere e uguali tra loro e di essere circoscritti da una sfera.
Il cubo e il tetraedro erano già noti nell’antichità; il dodecaedro, con dodici facce pentagonali, fu scoperto dai pitagorici; a Teeteto si devono l’ottaedro, che si ottiene incollando per le basi due piramidi a base quadrata, e l’icosaedro, con venti facce triangolari.
Oggi si chiamano “solidi platonici” perché, nel dialogo intitolato il Timeo, Platone li usò per spiegare scientificamente i fenomeni.
La sua teoria può essere riassunta in questo schema dove al numeratore compaiono gli elementi fondamentali dell’universo, al denominatore i solidi corrispondenti:

  • Terra/Cubo;
  • Fuoco/Tetraedero;
  • Aria/Ottaedro;
  • Acqua/Icosaedro;
  • Universo/Dodecaedro.

Accademia di Platone, 110-90 a.C.
Opera musiva pavimentale
Napoli, Museo Archeologico.

«L’associazione può sembrare balzana, ma non è diversa in spirito da quello che effettua la chimica moderna, assegnando alle molecole strutture geometriche che, attraverso le reazioni chimiche, si scompongono e si ricompongono in maniera non dissimile da quella anticipata dal Timeo. Addirittura, Platone esemplifica la cosa scomponendo i venti triangoli che compongono i due ottaedri e un tetraedro, e ricomponendoli in un icosaedro. Ovvero ritiene che l’acqua si possa considerare come composta da due parti di aria e una di fuoco: il che anticipa in maniera sorprendente, benché per un puro colpo di fortuna, la formula dell’acqua (H2O)». (Odifreddi 2004, pp. 58, 59)


  • L’universo, sinonimo di perfezione, è dato dalla proporzione delle parti (terra, fuoco, aria, acqua);
  • la materia, composta da particelle geometriche invisibili, per rispondere all’idea di bellezza deve presentare una distribuzione proporzionale degli elementi costitutivi.

La Proporzione è quindi specchio della Verità, dell’Ordine e dell’Armonia cosmica.
In una progressione di divine proporzioni ogni parte è un microcosmo, o modello minuscolo, di tutto l’insieme. E a questo modello, suggerisce Platone, devono tendere sia l’artista sia l’architetto che per progettare usa l’ ”arte del calcolo”.

I solidi platonici, che hanno catturato l’attenzione degli intellettuali anche nei secoli successivi, presentano affascinanti proprietà matematiche riconducibili al rapporto aureo.

Ad esempio un dodecaedro con lato unitario ha una superficie complessiva pari a 15φ √3 - φ e un volume pari 5φ3/(6 - 2φ). In modo simile un icosaedro di lato unitario ha un volume uguale a 5φ5/6.

I solidi platonici nell’interpretazione di Keplero


Platone, sia nella Republica che nelle Leggi, riconosce alla matematica un ruolo educativo oltre che conoscitivo e ritiene debba essere studiata per dieci anni, insieme ad astronomia, musica e logica. Forse si deve alle sue considerazioni la distinzione che nella Grecia antica veniva fatta tra:

  • aritmetica - teoria dei numeri - che secondo Platone “ha un grande potere nell’elevare la mente costringendola a ragionare intorno a numeri astratti”;
  • logistica - insieme di regole di calcolo – disciplina che egli vedeva adatta all’uomo d’affari e all’uomo di guerra, il quale “deve imparare l’arte dei numeri, altrimenti non saprà come schierare le sue truppe”. (Boyer 2007, p. 102)

L’aritmetica presenta una sostanziale affinità con il pensiero etico e nel Protagora Platone si chiede: “A cosa mai si riduce, infatti, una vita giusta se non all’arte della misura? Cioè, al saper scegliere correttamente tra il piacere e il dolore, fra l’eccesso e il difetto, fra il grande e il piccolo, fra il maggiore e il minore, fra il positivo e il negativo? E quale mai sarebbe la vera arte della misura, se non l’aritmetica?”. (Odifreddi 2004, p. 64)

Sviluppi.