Richiami di geometria dello spazio

Un poligono è una figura geometrica piana, cioè appartenente ad un piano, mentre un poliedro è una figura geometrica solida, cioè non appartenente ad un piano, ma allo spazio.

Un poligono (convesso) regolare è un poligono equilatero ed equiangolo (cioè tutti i lati hanno la stessa lunghezza e tutti gli angoli hanno la stessa ampiezza).

Esempi di poligoni regolari: triangolo equilatero (3 lati, angoli di 60°), quadrato (4 lati, angoli di 90°), pentagono regolare (5 lati, angoli di 108°), esagono regolare (6 lati, angoli di 120°), ottagono regolare (8 lati, angoli di 135°), etc.

Un solido è una parte di spazio delimitato da una superficie chiusa.

Un poliedro (convesso) è un solido delimitato da un certo numero di figure piane (facce) che sono dei poligoni (convessi); un poliedro (convesso) è quindi una parte di spazio, delimitata da diverse facce. Poiché il numero minimo di facce necessarie per racchiudere una parte di spazio è 4, il poliedro con il numero minimo di facce è il tetraedro. (Così come il numero minimo di segmenti necessari per racchiudere una parte di piano è 3, e quindi il poligono con il numero minimo di lati è il triangolo.)

Gli spigoli e i vertici di un poliedro sono rispettivamente i lati e i vertici dei poligoni che lo limitano; ogni lato è in comune a 2 (e solo 2) poligoni.

Un poliedro (convesso) si dice regolare se le facce sono tutte poligoni regolari, se sono tutte uguali tra loro (ossia se hanno tutte lo stesso numero di lati, naturalmente di lunghezza uguale per tutte le facce), e se in ogni vertice concorre uno stesso numero c di spigoli (o, equivalentemente, di facce).

Il numero totale f delle facce, il numero totale s degli spigoli, e il numero totale v dei vertici di un poliedro (convesso) non possono essere qualunque, ma sono vincolati da una ben precisa relazione esistente tra loro, espressa dalla formula di Eulero (1785): f + v = s + 2.

Mentre i poligoni regolari sono infiniti (tanti quanti sono i lati che si vogliono considerare), i poliedri regolari sono invece in numero finito, e precisamente solo 5. La dimostrazione di tale risultato si basa sostanzialmente su un teorema fondamentale di geometria dello spazio; opportunamente semplificato, esso afferma in sostanza che la somma degli angoli (relativi allo stesso vertice) delle facce concorrenti nello stesso vertice è (strettamente) minore di un angolo giro, e quindi l'ampiezza di tale somma è (strettamente) minore di 360°. Tenendo poi conto che le facce concorrenti in ogni vertice del poliedro sono almeno 3, che le facce sono poligoni regolari e quindi equiangoli, che la somma degli angoli (interni) di un poligono di n lati vale S = (n-2)*180 gradi, e che quindi l'angolo (interno) di un poligono regolare di n lati ha un'ampiezza di S/n gradi, si ha la seguente tabella riassuntiva: